Algebra y Trigonometria

25 nov 2020

Intervalos noviembre 25, 2020

Operaciones con Intervalos

En las matemáticas, podemos definir a un conjunto como una colección desordenada de objetos, los objetos de un conjunto pueden ser cualquier cosa siempre que tengan una relación entre ellos, a los objetos de un conjunto de les llama elementos o miembros de dicho conjunto, por lo tanto un conjunto contiene a sus elementos Se representan con una letra mayúscula y a los elementos o miembros de ese conjunto se les mete entre llaves ({,}).

· Dos conjuntos se pueden combinar de muchas maneras distintas, por ejemplo, teniendo un conjunto de la gente que juega al fútbol y otro de la gente que juega a baloncesto podemos hacer muchas combinaciones como el conjunto de personas que juegan a fútbol o baloncesto, las que juegan a fútbol y baloncesto, las que no juegan a baloncesto, etc.

Intervalos

Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas: (intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos) o según sus características métricas (longitud: nula, finita no nula, infinita). Intervalo semiabierto (cerrado en a, abierto en b). Intervalo semiabierto (abierto en a, cerrado en b).

OPERACIONES CON INTERVALOS

Dado que los intervalos constituyen un tipo particular de conjuntos, definiremos a continuación algunas operaciones, con conjuntos en general, e ilustraremos estas operaciones mediante ejemplos, de entre los cuales en algunos casos se involucraron intervalos.

1. INTERSECCION

Sean A y B conjuntos. Se define la intersección de A y B y se denota A ∩ B, al conjunto cuyos elementos pertenecen a A y también a B.

Simbólicamente se tiene que:

2. UNION

Sean A y B y conjuntos. Se define la unión de A y B y se denota A U B, al conjunto cuyos elementos pertenecen al menos a uno de los dos conjuntos A y B.

3. DIFERENCIA

Sean A y B conjuntos. Se define la diferencia de A y B y se denota A ─ B, al conjunto cuyos elementos pertenecen al A y no a B.

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Identidades noviembre 25, 2020

Identidades y fórmulas de trigonometría

Identidades y fórmulas de trigonometría

Todas las funciones en O

Identidades trigonométricas fundamentales, y cómo convertir de una función trigonométrica a otra

Una identidad trigonométrica es una igualdad que vincula dos funciones trigonométricas y es válida en el dominio común o descartando los puntos que anulan alguna función en caso de ser divisor. Son ligadas las funciones por operaciones racionales, potencias de exponente entero. En las fórmulas aún se acude a raíz cuadrada. Los ángulos se suman algebraicamente, se multiplican o se dividen por enteros positivos y luego actúan como argumento de alguna función.

Nota: se define $\operatorname {sen} ^{2}\alpha$ como $(\operatorname {sen} \alpha )^{2}$ . Lo mismo se aplica a las demás funciones trigonométricas

Definiciones del coseno, seno, tangente, secante, cosecante y cotangente; demostración de las identidades trigonométricas (ángulo doble, medio, mitad, suma, resta, producto, cuadrado, identidad fundamental, etc.) y ejemplos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de sus tres lados a, b y c.

Sea α uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo.

El seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c).
El coseno se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c).
La tangente es la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).

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RazonesTrigonometricas noviembre 25, 2020

Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo

Seno

El seno del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Se denota por sen B.

$fórmula de seno$

Coseno

El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto adyacente o contiguo al ángulo y la hipotenusa. Se denota por cos B.

$fórmula del coseno$

Tangente

La tangente del ángulo B es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente al ángulo. Se denota por tan B o tg B.

$fórmula de tangente$

Cosecante

La cosecante del ángulo B es la razón inversa del seno de B.

Se denota por csc B o cosec B.

$fórmula de cosecante$

Secante

La secante del ángulo B es la razón inversa del coseno de B.

Se denota por sec B.

$fórmula de secante$

Cotangente

La cotangente del ángulo B es la razón inversa de la tangente de B.

Se denota por cot B o ctg B.

$fórmula de cotangente$

SOH-CAH-TOA: Una manera sencilla de recordar

SOH-CAH-TOA es un acrónimo que se usa para poder memorizar las definiciones de las razones trigonométricas más importantes: seno, coseno y tangente. La siguiente tabla explica su significado.

$tabla sencilla para recordar las razones trigonométricas$

Para las otras razones trigonométricas, en vez de crear otro acrónimo, es más sencillo aprenderse el hecho de que la cosecante, secante y cotangente, son opuestos multiplicativos del seno, coseno y tangente, respectivamente. En la siguiente tabla se detalla.

$\displaystyle \begin{matrix} \text{razon trigonometrica}& & \text{opuesto multiplicativo}\\ \\ \text{Seno}& & \text{Cosecante}\\ \text{sen } \alpha=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}} & & \csc \alpha = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{opuesto}} \\ \\ \text{Coseno}& & \text{Secante}\\ \cos \alpha=\frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}} & & \sec \alpha = \frac{\text{hipotenusa}}{\text{adyacente}} \\ \\ \text{Tangente}& & \text{Cotangente}\\ \tan \alpha=\frac{\text{opuesto}}{\text{adyacente}} & & \cot \alpha = \frac{\text{adyacente}}{\text{opuesto}} \end{matrix}$

Razones trigonométricas en una circunferencia

Se llama circunferencia goniométrica o círculo unitario a aquella que tiene su centro en el origen de coordenadas y su radio es la unidad.

Si consideramos un triángulo rectángulo dentro del círculo con el radio forma la hipotenusa y uno de los catetos está sobre el eje X, obtendremos una figura como la siguiente.

Calculamos el seno y coseno del ángulo $\alpha$

$\displaystyle \text{sen } \alpha =\frac{\text{PQ}}{\text{OP}}=\frac{\text{PQ}}{\text{r}}=\text{PQ}=y$

$\cos \alpha =\frac{\text{OQ}}{\text{OP}}=\frac{\text{OQ}}{\text{r}}=\text{OQ}=x$

Concluímos que

El seno es la ordenada de P, es decir del punto que está sobre la circunferencia.

El coseno es la abscisa de P, es decir del punto que está sobre la circunferencia.

Otro dato que podemos deducir es que los valores de seno y coseno están entre 1 y -1.

-1 ≤ sen α ≤ 1

-1 ≤ cos α ≤ 1

Cabe destacar que la razón por la que se consideran las funciones trigonométricas en el círculo es para poder tomar ángulo más grandes. Por ejemplo, del un triángulo rectángulo no podría saber cuánto es $\cos 150^{\circ}$ , porque no puedo construir un triángulo rectángulo con un ángulo de 150°.

funcion trigonometrica
El círculo unitario me permite hacer ese cálculo. Lo que hago es:
1 Localizo el ángulo de 150° que se forma a partir del eje X en dirección opuesta a las manecillas del reloj.
2 Considero el punto sobre la circunferencia que se forma con el ángulo

La ordenada de ese punto es el seno
La abscisa es el coseno

Para las otras razones trigonométricas consideramos la siguiente figura

interpretacion geometrica de las razones trigonometricas

QOP y TOS son triángulos semejantes. Entonces,

$\displaystyle \frac{OP}{OS}=\frac{PQ}{ST}=\frac{OQ}{OT}$

QOP y T'OS′ son triángulos semejantes. Entonces,

$\displaystyle \frac{OP}{OS'}=\frac{PQ}{OT'}=\frac{OQ}{S'T'}$

Usando las definiciones de las razones trigonométricas y las relaciones entre los triángulos semejantes obtenemos

$\displaystyle \csc \alpha =\frac{\text{OP}}{\text{PQ}}=\frac{\text{OS'}}{\text{OT'}}=\frac{\text{OS'}}{\text{r}}=\text{OS'}$

$\displaystyle \sec \alpha =\frac{\text{OP}}{\text{OQ}}=\frac{\text{OS}}{\text{OT}}=\frac{\text{OS}}{\text{r}}=\text{OS}$

$\displaystyle \tan \alpha =\frac{\text{PQ}}{\text{OQ}}=\frac{\text{ST}}{\text{OT}}=\frac{\text{ST}}{\text{r}}=\text{ST}$

$\displaystyle \cot \alpha =\frac{\text{OQ}}{\text{PQ}}=\frac{\text{S'T'}}{\text{OT'}}=\frac{\text{S'T'}}{\text{r}}=\text{S'T'}$

Signo de las razones trigonométricas

En la circunferencia goniométrica los ejes de coordenadas delimitan cuatro cuadrantes que se numeran en sentido contrario a las agujas del reloj. Recordemos que si consideramos un ángulo $\alpha$ y tomamos el triángulo rectángulo dentro del círculo que se genera con dicho ángulo, el signo de el seno o coseno de este ángulo dependerá de en cuál cuadrante se ubique el triangulo.

signos del seno y coseno

Tabla de razones trigonométricas

Relaciones pitagóricas entre las razones trigonométricas

$\cos^2 \alpha + \text{sen }^2 \alpha = 1$

$\sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha$

$\csc^2 \alpha = 1 + \cot^2 \alpha$

Explicación:

trigonometría
Como el triángulo que se considera dentro del círculo es rectángulo se cumple que
$a^2+b^2=c^2$
En la imagen, los catetos (a y b) corresponden a los valores x y y, y la hipotenusa al radio, o sea , 1.
Entonces $x^2+y^2=1$
Como x es la abscisa y y la ordenada sabemos que estos valores corresponden al coseno y seno respectivamente. Entonces,
$\cos^2\alpha+\text{sen}^2 \alpha=1$

De divir la ecuación anterior por $\cos^2 \alpha$ obtengo
$\sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha$
Si en cambio hubiera dividido por $\text{sen}^2 \alpha$ obtendría
$\csc^2 \alpha = 1 + \cot^2 \alpha$

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